Cours fondamental 1 (TN)

Introduction aux formes modulaires

Pierre Charollois

Contact : pierre.charollois à imj-prg.fr

Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.charollois/modular_cours.html

Présentation

Ce cours est une introduction aux formes modulaires.

Ce sont des fonctions holomorphes qui satisfont une propriété d'invariance sous l'action par homographies d'un sous-groupe d'indice fini de SL2(Z).

Elles possèdent des propriétés arithmétiques remarquables, encodées notamment dans leurs coefficients de Fourier, leurs périodes, ou encore dans leur évaluation en des nombres quadratiques imaginaires (points à Multiplication Complexe).

Contenu

• Formes et fonctions modulaires; notion de poids et de niveau.
• Exemples classiques : séries d'Eisenstein, fonctions thêta, fonction Delta de Ramanujan, l'invariant j.
• Opérateurs de Hecke, formes propres, et leurs fonctions L.
• Multiplication Complexe.
• Polynôme de périodes, questions de rationalité.
• Exemples moins classiques (formes modulaires réelles-analytiques, formes faiblement modulaires, ...).

Prérequis

Bibliographie

• J.P. Serre. Cours d'arithmétique.
• G. Shimura. Elementary Dirichlet series.
• A. Weil. Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker.
• Cohen-Str\¨omberg. Modular forms-a classical approach (2017).
• J. Nekovar. Cours de théorie des nombres, M1 UPMC. https://webusers.imj-prg.fr/~jan.nekovar/co/nt/