Cours introductif (TN)
La théorie du corps de classes I
Pierre-Henri Chaudouard
(Travaux dirigés par Francesco Lemma)
Contact : pierre-henri.chaudouard à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
Le but du cours est de présenter les principaux résultats de la théorie du corps de classes et d’en donner une démonstration aussi complète que possible dans le temps imparti. Le but de cette théorie est d’obtenir une description des extensions abéliennes d’un corps local ou global en terme de l’arithmétique de ce corps. Le cours est en deux parties : dans cette première partie on introduira les objets et quelques résultats fondamentaux de théorie des nombres.
Le contenu du cours sera utile à tout étudiant intéressé par la théorie des nombres, la géométrie arithmétique ou les formes automorphes.
Contenu
- Valeurs absolues, complétions, corps locaux, corps globaux, anneau des adèles
- Adèles, Idèles d'un corps global, compacité des classes d'idèles.
- Finitude du groupes de classes, théorème des unités
- Thèse de Tate (si le temps le permet)
Prérequis
Une familiarité avec l'algèbre commutative de base (anneaux, idéaux, modules, corps, localisation, quotients, anneaux de Dedekind). Quelques notions de théorie de Galois sont les bienvenues.
Bibliographie
- J. Neukirch. Class Field Theory. Springer
- J-P Serre. Corps locaux. Hermann
- A. Weil. Basic Number theory. Springer
- E. Artin, J. Tate. Class field theory. AMS
- J. Cassels, J.Fröhlich. Algebraic number theory. London Mathematical Society