Cours introductif (HFE)
Contact : dario.cordero à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Ce cours a pour but de présenter des techniques variées permettant d'établir des inégalités fonctionnelles et géométriques,
techniques et inégalités qui peuvent être utiles dans divers domaines des mathématiques. Ces inégalités seront souvent liées à de la convexité et à des phénomènes en grandes dimensions.
Nous commencerons par la géométrie des mesures log-concaves sur \(\mathbb R^n\), qui sont l'analogue fonctionnel des ensembles convexes. Nous établierons l'inégalité de de Brunn-Minkowski et étudierons quelques-unes de ses conséquences (inégalité isopérimétrique dans l'espace euclidien, sections des corps convexes, inégalité de concentration de Borell). Nous étudierons ensuite des propriétés d'intégrabilité exponentielle et comme conséquence les inégalités de types Khintchine.
Nous passerons ensuite plus spécifiquement aux inégalités de concentration pour la mesure gaussienne. Comme application de ce phénomène de concentration, nous établirons le théorème de Dvoretzky qui affirme qu'en grande dimension, les sections (aléatoires) d'un corps convexe sont sphériques (ou plutôt ellipsoidales). Nous présenterons aussi le lemme de Johnson-Lindenstrauss utilisé en analyse de données.
Nous nous intéresserons enfin aux inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique. Dans le cas gaussien, nous introduirons la méthode du semi-groupe de la chaleur, qui nous permettra également de s'attaquer au problème isopérimétrique gaussien. Si le temps le permet, nous regardons les versions discrètes des inégalités spectrales de type Poincaré, en lien avec la constante de Cheeger, et nous étudierons les graphes aléatoires d'Erdös-Rényi et les graphes expenseurs.