Cours spécialisé (GT, Pro, Dyn, HFE)
Contact : anna.erschler à ens.fr
Pas de notes de cours prévues.
Etant donné un graphe \(\Gamma\) et un point de départ, nous pouvons choisir un voisin de celui-ci au hasard et passer à ce voisin; ensuite nous sélectionnons un voisin de ce nouveau point aléatoire et passons à ce voisin, etc. La suite aléatoire des points obtenus de cette manière est une trajectoire de la marche aléatoire simple sur le graphe. Plus généralement, la marche aléatoire peut être définie par un noyau de Markov sur le graphe, et dans ce cas le promeneur peut passer d'un seul pas aux points qui ne sont pas forcément des voisins.
Le comportement asymptotique de trajectoires de marches aléatoires sur un graphe, surtout dans le cas des marches aléatoires simples, est étroitement relié à la géométrie du graphe. Ce lien est encore plus fort si le graphe en question est transitif: c'est-à-dire si pour tous sommets x et y dans \(\Gamma\) il existe une isométrie du graphe qui envoie x dans y.
Les sujets du cours incluront la récurrence / la transience,
les probabilités de transition, les inégalités l'isopérimétrique, les couples de Foelner, la vitesse de la fuite, l'entropie asymptotique, l’entropie conditionnelle. Nous
étudierons le comportement asymptotique des trajectoires, le bord de sortie, le bord de Martin et de Poisson des marches aléatoires.
En commençant par des résultats classiques de Kesten, Dynkin-Maliutov, Avez, Derriennic, Kaimanovich et Vershik, vers la fin du cours nous discuterons le progrès très recent dans ce domaine.