Cours fondamental 1 (GC, GA)
Géométrie complexe et théorie de Hodge
Gérard Freixas i Montplet
(Travaux dirigés par Junyan Cao)
Contact : gerard.freixas à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
Le but du cours est d'introduire des notions et outils de base en géométrie complexe et théorie de Hodge. À la fin du programme, les étudiants seront armés pour entamer plusieurs directions plus spécialisés dans ces sujets. L'objet central du cours sont les variétés de Kähler, les fibrés vectoriels holomorphes et leur cohomologie.
Contenu
- Variétés complexes: structures presque-complexes, structures complexes, métriques hermitiennes et formes de Kähler.
- Fibrés vectoriels: structures holomorphes, métriques hermitiennes et connexions de Chern, théorème de Newlander--Nirenberg.
- Outils cohomologiques: cohomologie de de Rham et théorème de de Rham, cohomologie de Dolbeault, faisceaux et cohomologie des faisceaux.
- Théorie de Hodge 1: métriques hermitiennes sur les fibrés, laplaciens, représentants harmoniques.
- Théorie de Hodge 2: identités de Kähler, décomposition de Hodge, suite spectrale de Hodge -- de Rham, structures de Hodge et polarisations.
- Classes de Chern: cohomologie des fibrés projectifs, construction des classes de Chern et propriétés, représentants de Chern--Weil, positivité et théorème de Kodaira.
Prérequis
Un peu de géométrie différentielle et riemannienne, cohomologie singulière.
Bibliographie