Cours fondamental 2 (TA)

Introduction à la théorie de l'homotopie

Najib Idrissi

Contact : najib.idrissi-kaitouni à imj-prg.fr

Notes de cours : https://www.math.univ-paris13.fr/%7Eginot/Homotopie/Ginot-homotopie2019.pdf

Présentation

Le but de ce cours est de donner une introduction à la théorie de l'homotopie moderne, à ses outils et à ses applications, puis d'introdure la notion d'\(\infty\)-catégorie. On suivra essentiellement deux exemples : l'exemple fondateur des espaces topologiques et l'exemple des complexes de chaînes (au sens des cours d'algèbre homologique et topologie algébrique). On présentera l'axiomatique moderne de l'homotopie, les catégories de modèles de Quillen, et on expliquera l'équivalence entre les espaces topologiques et les ensembles simpliciaux. On illustrera aussi ces méthodes via l'exemple de l'homotopie rationnelle pour montrer comment les structures multiplicatives des cochaines (singulières ou de De Rham) encodent les espaces à homotopie rationnelle près.

Contenu

• Catégories de modèles
• Foncteurs de Quillen et foncteurs dérivés
• Comparaison des ensembles simpliciaux et espaces topologiques
• Homotopie rationnelle
• Notions de théorie des \(\infty\)-catégories

Prérequis

Bibliographie

• W. Dwyer et J. Spaliński. Homotopy theories and model categories. In: *Handbook of algebraic topology*. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 73--126. http://www.math.jhu.edu/%7Eeriehl/616/DwyerSpalinski.pdf
• M. Hovey. Model categories. Mathematical Surveys and Monographs 63. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, pp. xii+209. ISBN: 0-8218-1359-5. https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf
• K. Hess. Rational homotopy theory: a brief introduction. In: *Interactions between homotopy theory and algebra*. Contemp. Math. 436. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 175–202. https://arxiv.org/pdf/math/0604626.pdf
• A. Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002, pp. xii+544. ISBN: 0-521-79160-X. https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf
• C. A. Weibel. An Introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. xiv+450. ISBN: 0-521-43500-5. https://math.mit.edu/~hrm/18.906/weibel-homological-algebra.pdf