Cours fondamental 2 (HFE)
Contrôle et stabilisation des équations aux dérivées partielles
Jérôme LE ROUSSEAU
Contact : jlr à math.univ-paris13.fr
Notes de cours : https://www.math.univ-paris13.fr/~lerousseau/Stab-controle.html
Présentation
L'objectif de ce cours est de comprendre comment des résultats de
contrôle et de stabilisation des EDP s'expriment à partir
d'inégalités fonctionnelles (inégalités dites
d'observabilité, inégalités de résolvante) et puis de
comprendre comment de telles inégalités peuvent être obtenues.
Les techniques utilisées proviennent de l'analyse fonctionnelle, en
particulier celle des semigroupes, l'analyse microlocale et
semiclassique, la théorie elliptique des EDP. Les inégalités
dites de Carleman, qui sont des inégalités d'énergie à poids,
seront centrales dans l'obtention des résultats.
Contenu
- Analyse semi-classique et inégalités de Carleman pour le laplacien dans un ouvert (1) loin du bord et (2) au bord avec des conditions de Dirichlet;
- Prolongement unique pour le laplacien et sa quantification;
- Semigroupes et leur stabilisation asymptotique logarithmique obtenue par une inégalité de résolvante pour le générateur infinitésimal;
- Application à la stabilisation logarithmique de l'équation des ondes par un terme d'amortissement localisé à l'intérieur (conditions de Dirichlet homogènes);
- Inégalité spectrale et application à la contrôlabilité de l'équation de la chaleur (conditions de Dirichlet homogènes).
Prérequis
Cours d'analyse microlocale (Jean-Marc Delort)
Bibliographie