Cours fondamental 1 (Dyn)

Systèmes dynamiques holomorphes

Matteo Ruggiero

Contact : matteo.ruggiero à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Les systèmes dynamiques étudient des espaces dont les points évoluent dans le temps. Dans notre cas, on considère l'action d'une application holomorphe f sur une surface de Riemann X, et on en étudie les itérés.
Dans ce cadre, l'espace X peut être divisé en deux parties, l'ensemble de Fatou et l'ensemble de Julia, où la dynamique est régulière/chaotique respectivement.
On étudiera les propriétés principales de ces ensembles, et la description de la dynamique des fonctions rationnelles sur la sphère de Riemann.
Si le temps le permettra, on présentera brièvement les techniques de géométrie quasi-conforme, et les conséquences qu'on peut en tirer en dynamique.

Contenu

• Fonctions holomorphes, surfaces de Riemann et métrique de Poincaré (rappels).
• Familles normales.
• Ensembles de Fatou et Julia, premières propriétés.
• Dynamique locale et applications.
• Propriétés des cycles répulsifs.
• Chirurgie quasi-conforme et applications (optionnel).

Prérequis

Bibliographie

• Milnor. Dynamics in one complex variable.
• Beardon. Iteration of rational functions.
• Carleson, Gamelin. Complex dynamics.
• Buff, Hubbard. Dynamics in one complex variable.