Cours fondamental 2 (GT,Lie)

Introduction aux espaces symétriques

Andrés Sambarino (Travaux dirigés par Elisha Falbel)

Contact : andres.sambarino à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Les espaces symétriques sont des variétés Riemanniennes vérifiant une condition de symétrie supplémentaire: pour tout point de l'espace l'involution géodésique est une isométrie locale. Partant de cette définition assez élémentaire Élie Cartan, inspiré par des idées de Killing, classifie les espaces symétriques complets simplement connexes (aussi dits globalement symétriques). Le but du cours est d'expliquer cette classification, liant l'étude géométrique de ses espaces à l'étude des groupes de Lie semi-simples.

Nous passerons ensuite à l'étude des espaces symétriques Hermitiens (c'est-à-dire, ceux qui ont une structure complexe invariante par les involutions géodésiques) et montrerons qu'un tel espace est biholomorphe à un domaine symétrique borné.

Si le temps le permet, nous étudierons les espaces symétriques complets de volume fini. Ceux-ci font l'objet de résultats de rigidité frappants tels que le Théorème de Ballman :

- Soit X une variété compacte à courbure non-positive dont le rang géométrique est minoré par 2, alors cette métrique est symétrique.

ou la super-rigidité de Margulis qui entraîne le résultat suivant :

- Soit X un espace symétrique compact à courbure non-positive de rang minoré par 2, alors tout espace symétrique Y (pas forcement compact) admettant une injection \(\pi_1X\to\pi_1Y \) admet une copie totalement géodésique \(X\subset Y\).

Contenu

Prérequis

Des bases de géométrie différentielle et Riemannienne. Des bases sur les groupes de Lie sont conseillées.

Bibliographie