Cours introductif (HFE)
Contact : dario.cordero à imj-prg.fr
Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~dario.cordero/Docs/M2/2019_2020/index.html
Les inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique sont des outils utiles dans divers domaines de l'analyse. Elles sont souvent liées à de la convexité (ou à de la courbure positive) et à des phénoménes en grandes dimensions.
Ce cours a pour but de présenter des techniques variées permettant d'établir des inégalités fonctionnelles et géométriques.
Nous commencerons par la géométrie des mesures log-concaves sur $\mathbb R^n$, qui sont l'analogue fonctionnel des ensembles convexes. Nous établierons l'inégalité de de Brunn-Minkowski et étudierons quelques-unes de ses conséquences (inégalité isopérimétrique dans l'espace euclidien, sections des corps convexes, inégalité de concentration de Borell). Nous étudierons ensuite des propriétés d'intégrabilité exponentielle et comme conséquence les inégalités de types Khintchine.
Nous passerons ensuite plus spécifiquement aux inégalités de concentration pour la mesure gaussienne usuelle sur $\mathbb R^n$ et les matrices aléatoires gaussiennes. Comme application de ce phénoméne de concentration, nous établirons le théoréme de Dvoretzky qui affirme qu'en grandes dimensions, les sections (aléatoires) d'un corps convexe sont sphériques (ou plutôt ellipsoidales). Nous présenterons aussi le lemme de Johnson-Lindenstrauss utilisé en analyse de données.
Nous nous intéresserons enfin plus spécifiquement aux inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique. Dans le cas gaussien, nous introduirons la méthode du semi-groupe de la chaleur, qui nous permettra également de s'attaquer au probléme isopérimétrique gaussien. Si le temps le permet, nous regardons les versions discrétes des inégalités spectrales de type Poincaré, en lien avec la constante de Cheeger, et nous étudierons les graphes aléatoires d'Erd\"os-Rényi et les graphes expenseurs.