Cours fondamental 1 (GA, TN)

Introduction à l'arithmétique des courbes elliptiques

Jean-François Dat (Travaux dirigés par Marco Maculan)

Contact : jean-francois.dat à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Une courbe elliptique sur \(\mathbb Q\) est une courbe algébrique non-singulière que l'on peut obtenir comme lieu des zéros d'un polynôme homogène de degré 3 dans le plan projectif sur \(\mathbb Q\). C'est en quelque sorte l'objet le plus simple de la géométrie arithmétique après les "quadriques".
Les points complexes d'une courbe elliptique forment une surface de Riemann dont l'espace topologique sous-jacent est un tore, et donc en particulier un groupe. Le fait que cette loi de groupe soit algébrique et définie sur \(\mathbb Q\) permet d'attacher des invariants arithmétiques très importants, à savoir la structure du groupe des points rationnels et l'action de Galois sur les points "de torsion". Le but de ce cours sera d'introduire ces notions afin de pouvoir énoncer deux conjectures majeures du 20ème siècle : celle de Birch et Swinnerton-Dyer, toujours ouverte, et celle dite "de modularité", célèbre pour impliquer le théorème de Fermat, et prouvée par Wiles, Taylor et coauteurs.

Contenu

Prérequis

Cours "Surfaces de Riemann".

Bibliographie