Cours fondamental 1 (GA, TN)
Introduction à la théorie des schémas I
Antoine Ducros
Contact : antoine.ducros à imj-prg.fr
Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/Cours-schemas.pdf
Présentation
Le langage des schémas a été introduit par Grothendieck (et son école) dans les années 50-60 avec en ligne de mire les conjectures de Weil ; il permet de manipuler des variétés algébriques sur un corps ou même un anneau quelconques, et est toujours le cadre de travail de la géométrie algébrique contemporaine. On peut par exemple, grâce à lui, étant donné un système d'équations S à coefficients dans Z, voir les variétés définies par S sur les différents corps F_p (par réduction modulo p des équations) ainsi que sur Q (en oubliant que les coefficients sont entiers) comme les fibres d'un certain morphisme, et donc penser à cette collection de variétés (dont le corps de définition varie) comme à une famille, au sens géométrique du terme.
Contenu
- Spectre d'un anneau commutatif. Exemples importants (Z, k[T],Z[T], k[S,T]).
- Définition des schémas et des morphismes de schémas. Propriétés de base.
- Faisceaux quasi-cohérents, morphismes affines, immersions fermées.
- Morphismes de type fini, schémas de type fini sur un corps.
- Foncteur des points d'un schéma.
- Schémas projectifs, morphismes projectifs.
Prérequis
Le cours Les outils de la géométrie algébrique sera supposé connu. Notre référence de base sera la polycopié dont l'URL est indiquée plus haut.
Nous donnons également à titre indicatif quelques références sur le sujet. En plus de celles-ci je conseille la consultation du site Stacks Project, https://stacks.math.columbia.edu/ et la lecture de l'introduction des Éléments de géométrie algébrique, qui figurent dans la bibliographie ci-dessous.
Bibliographie
- R. Hartshorne. Algebraic Geometry. Graduate texts in math. 52, Springer-Verlag
- R. Vakil. The foundations of algebraic geometry.
http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/
- A. Grothendieck et J. Dieudonné.. Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 166, Springer-Verlag