Cours fondamental II et spécialisé (Dyn, Phy)
Co-cycles et opérateurs de Schrodinger quasi-périodiques: dynamique et théorie spectrale
Hakan Eliasson
Contact : hakan.eliasson à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Présentation
L'équation de Schrodinger quasi-périodique a été, et reste encore, un sujet de recherche très active à laquelle a contribué un grand nombres de mathématiciens renommés. Son étude réunit plusieurs domaines de mathématiques différentes: systèmes dynamiques, théorie spectrale, théorie ergodique....
Ce cours donnera les concepts de base de ce théorie et retracera les developpements qui y ont été faits depuis plus que 40 ans.
1) Co-cycles quasi-périodiques.
2) L'opérateur de Schrodinger quasi-périodique
3) Relations entre les propriétés dynamiques et spectrales
4) Théorie de perturbation pour le co-cycle de Schrodinger quasi-périodiques -- KAM
5) Théorie non-perturbative pour le le co-cycle de Schrodinger quasi-périodique
Contenu
- Co-cycles quasi-périodiques: Propriétés générales des fonctions quasi-périodiques. Réducibilité. Les exposants de Lyapounov, hyperbolicité uniforme et non-uniforme: méthode sous-harmonique de M. Herman. Le co-cycle de Schrodinger et le nombre de rotation fibrée.
- L'opérateur de Schrodinger quasi-périodique: Un peu de théorie spectrale d'opérateurs auto-adjoints. La résolvante et la fonction de Green. Densité d'états.
- Relations entre les propriétés dynamiques et spectrales: Hyperbolicité uniforme et le spectre. Nombre de rotation fibrée et la densité d'états. Formule de Thouless. ``Gap-labelling".
- Théorie de perturbation pour le co-cycle de Schrodinger quasi-périodiques -- KAM: Le théorème de Dinaburg\&Sinai et peut-être un peu plus...et le problème de ``10 Martini''.
Prérequis
Analyse réelle et complexe, rudiments d'analyse fonctionnelle et d'équations différentielles ordinaires
Bibliographie
- R. Carmona, J. Lacroix. Spectral theory of random Schrodinger operators. 1990
URL
- L. Pastur, A. Figotin. Spectra of random and almost-periodic operators. 1992
- L.H. Eliasson. One-dimensional quasi-periodic Schrodinger operators: dynamical systems and spectral theory. 1998
- L.H. Eliasson. Résultats non-pertubatif pour l'équation de Schrodinger et d'autres co-cycles quasi-périodiques [d'après Avila, Bourgain, Jitomyrskaya, Krikorian, Puig], Bourbaki 2008.. 2008