Cours spécialisé (TN,GA)
Géométrie arithmétique
Marc Hindry
Contact : marc.hindry à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
On s'intéresse au problème suivant: décrire l'ensemble des points rationnels sur un corps de nombres \(K\) d'une variété algébrique (resp. des points entiers sur \(\mathcal{O}_K\)). L'outil principal est la théorie des hauteurs, qui mélange proprétés géométriques et arithmétique. Après des préliminaires géométriques, le cours exposera cette théorie et son application à la démonstration des principaux résultats: le groupe des points rationnels d'une variété abélienne est de type fini, l'ensemble des points rationnels d'une courbe de genre \(\geq 2\) est fini. La dernière partie abordera des résultats plus récents et des problèmes ouverts.
Contenu
- Points rationnels et entiers sur les variétés algébriques
- Courbes algébriques et variétés abéliennes, espace de modules
- Théorie des hauteurs (Weil, Arakelov, Néron-Tate)
- Théorèmes de Mordell-Weil et Siegel
- Théorèmes de Faltings
- Résultats récents et problèmes ouverts (Mordell-Lang, André-Oort, Zilber-Pink)
Prérequis
Deux prérequis: la théorie algébrique des nombres de base (i.e. avant la théorie du corps de classe et une certaine exposition aux outils et langage de la géométrie algébrique. Les trois ouvrages cités couvrent une bonne partie du cours.
Bibliographie
- Hindry, Silverman. Diophantine Geometry, an introduction. Springer, 2000
URL
- Bombieri, Gubler. Heights in Diophantine Geometry. Cambridge UP, 2006
- Serre. Lectures on the Mordell-Weil theorem. Vieweg, 1989