Cours introductif (HFE)
Contact : jendrej à math.univ-paris13.fr
Notes de cours : https://www.math.univ-paris13.fr/~jendrej/enseignement/AH-20/index.html
L'objectif de ce cours est de présenter quelques résultats classiques de l'analyse de Fourier dans l'espace euclidien. Nous insisterons sur les aspects de la théorie qui sont pertinents pour l'étude des équations aux dérivées partielles (mais ces applications ne seront présentées que de manière rudimentaire).
Après quelques rappels sur la théorie des distributions et sur la transformation de Fourier, nous aborderons la théorie générale des intégrales singulières, c'est-à-dire la théorie des opérateurs de convolution avec un noyau singulier en origine. Puis, nous étudierons la décomposition de Littlewood-Paley et en donnerons quelques applications simples en analyse fonctionnelle. Enfin, nous examinerons des propriétés des restrictions de transformées de Fourier à des hypersurfaces. Nous verrons comment ces idées permettent de décrire le caractère “dispersif” de l'équation de Schrodinger.
La majorité du cours sera consacrée aux estimations dans des espaces de Lebesgue autres que L2, ce qui a des applications notamment en étude de problèmes non linéaires.