Cours spécialisé (GA,TN, Lie)
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Des notes de cours seront disponibles.
La théorie du corps de classes (locale ou globale) fournit un isomorphisme
$$
W_F^{\rm ab}\stackrel{\sim}{\longrightarrow} C_F
$$
entre l'abélianisé du groupe de Weil \(W_F\) de F (un raffinement du groupe de Galois absolu) et les avatars des groupes de classes classiques: \(F^\times\), dans le cas local, et \(F^\times\backslash\mathbb{A}_F^\times\), dans le cas global. Par passage au dual, on peut voir cette bijection comme une paramétrisation arithmétique des caractères (locaux ou automorphes) du groupe multiplicatif \(\mathbb{G}_m\) sur F.
Le programme de Langlands cherche à généraliser la théorie du corps de classes à d'autres groupes que \(\mathbb{G}_m\), en se servant des représentations de \(W_F\) (ou un gadget arithmétique sembable) de dimension supérieure. Pour en donner un exemple, selon la conjecture de réciprocité de Langlands, lorsque F est un corps de nombres, les représentations automorphes cuspidales algébriques de \({\rm GL}_n(\mathbb{A}_F)\) (telles que les formes modulaires holomorphes classiques) seraient paramétrées par les représentations galoisiennes irréductibles de dimension n. Une telle paramétrisation est en fait attendue pour tout groupe réductif \(\mathbf{G}\) sur F. Le deuxième pilier du programme de Langlands est le principe de fonctorialité, qui prévoit une façon de transférer les représentations automorphes entre deux groupes \(\mathbf{G}\) et \(\mathbf{G}'\), une fois donné un lien entre leurs classes de conjugaison.
Un thème qui émerge de l'oeuvre de Jacquet est que la conjecture de fonctorialité est intimement liée à la non annulation de certaines formes linéaires \(\mathbf{H}\)-invariantes sur \(\mathbf{G}\). Ici, \(\mathbf{H}\) est un sous-groupe de \(\mathbf{G}\) suffisamment grand pour que l'analyse harmonique sur le quotient \(\mathbf{G}(F)/\mathbf{H}(F)\) se comporte bien. Une classe d'exemples importante des formes linéaires invariantes sont des périodes d'intégrales des formes automorphes, car elles représentent souvent des fonctions L. On dit qu'une représentation est distinguée par \(\mathbf{H}\) si elle admet une \(\mathbf{H}\)-période non nulle. Sakellaridis et Venkatesh ont récemment proposé des conjectures de réciprocité et fonctorialité pour les représentations \(\mathbf{H}\)-distinguées de \(\mathbf{G}\), qui mettent en valeur les propriétés spectrales de la variété (sphérique) \(\mathbf{G}(F)/\mathbf{H}(F)\). De ce point de vue, le programme original de Langlands s'obtient comme un cas spécial en prenant \(\mathbf{H}\) plongé diagonalement dans \(\mathbf{G}=\mathbf{H}\times \mathbf{H}\).
Le but de ce cours est de donner une introduction à ces idées, en pleine voie de développement. Après une initiation aux formes automorphes dans le cadre adélique, leur paramètres, et des exemples (locaux et globaux) de distinction par des périodes, on t\^{a}chera d'expliquer la conjecture locale de Sakellaridis-Venkatesh à travers la mesure de Plancherel des variétés sphériques, et de donner des applications globales.