Cours fondamental 1 (GNC)

Propriétés d'approximations des groupes et algèbres de von Neumann

Pierre Fima (Travaux dirigés par Stéphane VASSOUT)

Contact : pierre.fima à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Ce cours est le second cours du parcours de M2 Algèbres d'opérateurs, géométrie non commutative. Ce parcours s’appuie sur les liens profond existant entre les algèbres d’opérateurs, la théorie géométrique et la théorie mesurée des groupes discrets dénombrables. Les algèbres d’opérateurs, introduites par Murray et von Neumann entre 1940 et 1950 dans l’optique de formaliser les concepts de la mécanique quantique, ont connu des progrès spectaculaires, en lien avec la théorie ergodique et la théorie des groupes, ces 15 dernières années. Ce parcours présentera quelques uns de ces résultats très récents ainsi que les techniques modernes qui permettent de les obtenir. Dans ce cours, différentes propriétés d’approximations pour les groupes et algèbres de von Neumann, dont l’utilisation permet d’obtenir des résultats surprenant de rigidité, seront présentées et étudiées en détails.

Contenu

• Modules sur une algèbre de von Neumann finie, dimension de Murray-Von Neumann, Bimodules.
• Groupes moyennables, algèbres de von Neumann hyperfinies, le facteur hyperfini \({\rm II}_1\).
• Propriété (T) et (T) relative pour les groupes, exemples: \({\rm SL}_2(\mathbb{Z})\ltimes\mathbb{Z}^2\) et \({\rm SL}_n(\mathbb{Z})\) pour \(n\geq 3\). Propriété (T) et (T) relative pour les algèrres de von Neumann finies. Les facteurs \({\rm II}_1\) avec (T) ont un groupe fondamental et un groupe d'automorphismes extérieurs dénombrable.
• Propriété de Haagerup et moyennabilité faible pour les groupes et algèbres de Von Neumann finies, exemples: groupes agissant proprement sur un arbre.
• Actions moyennables, groupes et C*-algèbres exactes, exemples: les groupes hyperboliques (si le temps le permet).

Prérequis

Bibliographie

• V. Jones et V.S. Sunders. Introduction to subfactors.
• N. Brown et N. Ozawa. C*-algebras and Finite-Dimensional Approximations.
• B. Bekka, P. de la Harpe et A. Valette. Kazhdan’s Property (T).