Cours introductif (HFE)

Introduction à l'analyse harmonique

Jacek Jendrej

Contact : jendrej à math.univ-paris13.fr

Notes de cours : https://www.math.univ-paris13.fr/~jendrej/enseignement/AH-19/index.html

Présentation

L'objectif de ce cours est de présenter quelques résultats classiques de l'analyse harmonique. Nous insisterons sur les aspects de la théorie qui trouvent des applications dans l'étude des équations aux dérivées partielles (mais ces applications ne seront présentées que de manière rudimentaire).

Nous étudierons d'abord les séries de Fourier et les fonctions harmoniques sur le disque, ce qui permettra d'introduire certaines idées-clé dans un contexte familier. Ensuite, après quelques rappels sur la théorie des distributions et sur la transformation de Fourier, nous aborderons la théorie générale des intégrales singulières. Puis, nous étudierons la décomposition de Littlewood-Paley et quelques applications. Enfin, nous examinerons des propriétés des restrictions des transformées de Fourier à des hypersurfaces.

Contenu

• Fonctions harmoniques et transformée de Hilbert sur le disque, convergence des séries de Fourier
• Rappels sur la théorie des distributions et sur la transformation de Fourier
• Théorie de Calderon-Zygmund des intégrales singulières
• Théorie de Littlewood-Paley
• Intégrales oscillantes, théorème de Tomas-Stein, inégalités de Strichartz (si le temps le permet)

Prérequis

Bibliographie

• Muscalu, Camil et Schlag, Wilhelm. Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Vol. 1. Cambridge University Press, 2013
• Stein, Elias et Weiss, Guido. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press, 1971
• Stein, Elias. Singular Intergrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press, 1970
• Grafakos, Loukas. Classical Fourier Analysis, 2nd Edition. Springer, 2008