Cours fondamental 1 (GA, Lie)
Algèbres de Lie semi-simples complexes et leurs représentations, I et II
Bernhard Keller
(Travaux dirigés par Jean-Yves Ducloux)
Contact : bernhard.keller à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
Les algèbres de Lie semi-simples et leurs
représentations apparaissent dans de nombreuses branches des
mathématiques (et de la physique)
allant de la gémétrie différentielle/algébrique
à la combinatoire.
Notre but sera de classifier ces algèbres et pour chacune d'entre elles,
ses représentation de dimnension finie.
Contenu
- Algèbres de Lie, idéaux, homomorphismes, représentations
- algèbres résolubles, algèbres nilpotentes, forme de Killing
- algèbres semi-simples, décomposition en idéaux simples, semi-simplicité des représentations
- représentations de \(sl_2\), sous-algèbres de Cartan, systèmes de racines, groupe de Weyl, classification des systèmes de racines
- plus hauts poids, modules de Verma, modules simples, formule de Weyl
- introduction à la catégorie \(\mathcal{O}\)
Prérequis
Connaissances solides en algèbre linéaire, notions de base en algèbre
Bibliographie
- N. Bourbaki. Groupes et algèbres de Lie, Chap.~4 --6. Masson 1981
URL
- J. Dixmier. Algèbres enveloppantes. Gauthier--Villars 1974
- J. E.~Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer 1972
- R. Mneimné. Réduction des endomorphismes. Calvage et Mounet 2006
- J.-P. Serre. Algèbres de Lie semi-simples complexes. Benjamin 1966
- V.~S. Varadarajan. Lie groups, Lie algebras and their representations. Prentice Hall 1974