Cours fondamental 2 (GNC, Dyn)

Sous-algèbres maximales abéliennes et équivalence orbitale

François Le Maitre

Contact : francois.le-maitre à imj-prg.fr

Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~francois.le-maitre/enseignements/1920/masas/

Présentation

Ce cours est le troisième cours du parcours de M2 Algèbres d'opérateurs, géométrie non commutative. Ce parcours s’appuie sur les liens profond existant entre les algèbres d’opérateurs, la théorie géométrique et la théorie mesurée des groupes discrets dénombrables. Les algèbres d’opérateurs, introduites par Murray et von Neumann entre 1940 et 1950 dans l’optique de formaliser les concepts de la mécanique quantique, ont connu des progrès spectaculaires, en lien avec la théorie ergodique et la théorie des groupes, ces 15 dernières années. Ce parcours présentera quelques uns de ces résultats très récents ainsi que les techniques modernes qui permettent de les obtenir. Dans ce cours, on se propose d'étudier les facteurs \(II_1\) via leurs sous-algèbres abéliennes maximales (masa). Ces dernières apparaissent naturellement au seins de produits croisés provenant de la théorie ergodique, et ce de deux manières qui vont être l'objet principal de ce cours.

D'une part, lorsqu'on a une transformation ergodique qui préserve la mesure d'un espace de probabilité \((X,\mu)\), l'algèbre \(L\mathbb{Z}\) qu'elle engendre dans le produit croisé \(L\mathbb{Z}\ltimes_T\mathrm{L}^{}\infty(X)\) est un masa, et une conjecture de Neshveyev-St\o{}rmer stipule que lorsque la transformation est faiblement mélangeante, le masa associé devrait se souvenir complètement de la transformation. On verra de nombreux exemples, et on les utilisera pour étudier un invariant naturel des masas, l'invariant de Pukanzky.

D'autre part, lorsqu'un groupe dénombrable \(\Gamma\) agit sur \((X,\mu)\) en préservant la mesure, l'algèbre \(\mathrm{L}infty(X)\) est un masa de Cartan du produit croisé \(L\Gamma\ltimes\mathrm{L}^\infty(X)\). Cette fois-ci, nous verrons que ce masa se souvient complètement de la partition de l'espace en orbites. On utilisera un résultat profond de Connes-Feldman-Weiss pour voir que le facteur hyperfini \(II_1\) possède une unique masa de Cartan à automorphisme près.

On verra enfin un invariant important, le coût, qui permet grâce aux travaux de Gaboriau de distinguer les partitions de l'espace en orbite provenant d'actions de groupes libres de rangs distincts. On utilisera le coût pour conclure par une preuve d'un résultat de Popa (2001): le facteur \(L(Sl_2(\mathbb{Z})\ltimes\mathbb{Z}^2)\) a un groupe fondamental trivial.

Contenu

Prérequis

Le cours sur les algèbres d'opérateurs de Georges Skandalis est un prérequis. Le cours sur les Propriétés d’approximations de Pierre Fima ainsi que le cours de théorie ergodique d'Emmanuel Roy sont un plus, mais toutes les notions utilisées en provenance de ces cours seront développées.

Bibliographie