Cours spécialisé (Lie, HFE, GT)
Variété hyperboliques, spectre et comptage
Frédéric Naud
Contact : nom_de_login à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
Dans ce cours, on se propose d'étudier divers aspects de la théorie spectrale des variétés hyperboliques, motivés par des problèmes
concrets de comptage dans les groupes discrets. Plus précisément, si \(\Gamma\) est un groupe discret d'isométries de l'espace hyperbolique réel \({\mathbb H}^n\), un problème classique
consiste à compter les éléments de l'orbite d'un point z de \(\mathbb{H}^n\) sous l'action de \(\Gamma\):
$$\mathcal{N}_z(R):=\#\{ \gamma \in \Gamma\ :\ \mathrm{d}(z,\Gamma z)\leq R\}, $$
où "d" désigne la distance hyperbolique. Quel est le comportement asymptotique de \(\mathcal{N}_z(R)\) quand \(R\rightarrow +\infty\) ?
Une des stratégies possibles consiste à utiliser des outils d'analyse harmonique sur le quotient \(X=\Gamma \backslash {\mathbb H}^n\) i.e. comprendre le spectre L^2 du Laplacien sur X.
Contenu
- Espace hyperbolique, groupes discrets, cas Fuchsiens et Kleiniens. Séries de Poincaré, exposant critique, ensembles limites.
- Spectre du Laplacien sur \({\mathbb H}^n\), fonction de Green, résolvante libre.
- Quotients compacts: décomposition spectrale. Opérateurs invariants, formules de pré-trace: application au comptage orbital.
- Formule des traces de Selberg et fonction zêta de Selberg. Quelques conséquences classiques.
- Un survol du cas de volume fini: cusps et matrice de scattering.
- Le cas convexe co-compact: spectre L^2, théorie de Lax-Phillips. Absence de spectre plongé et inégalités de Carleman. Comptage orbital, théorie de Patterson-Sullivan.
Prérequis
Des bases de géométrie différentielle et Riemannienne. Analyse fonctionnelle et analyse complexe de base. Des rudiments d'EDP linéaire peuvent aider. Des connaissances en théorie ergodique, géométrie des groupes et théorie des représentations sont bienvenues.
Bibliographie
- Iwaniec, Henryk. Spectral methods of automorphic forms. Graduate Studies in Mathematics, 53. American Mathematical Society, Providence.
- Bergeron, Nicolas. Le spectre des surfaces hyperboliques. Savoirs Actuels (Les Ulis). EDP Sciences, Les Ulis; CNRS Éditions, Paris, 2011.
- Borthwick, David. Spectral theory of infinite-area hyperbolic surfaces. Second edition. Progress in Mathematics, 318. Birkhäuser/Springer.
- Nicholls, Peter J.. The ergodic theory of discrete groups.. London Mathematical Society Lecture Note Series, 143. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.