Cours spécialisé (TN, Lie)

Des aspects relatifs du programme de Langlands

Farrell Brumley

Contact : farrell.brumley à gmail.com

Notes de cours : https://www.math.univ-paris13.fr/~brumley/

Présentation

Ce cours sera une introduction aux représentations automorphes et au programme (classique et relatif) de Langlands. La première partie du cours se concentrera sur la théorie classique: passage des formes modulaires aux représentations automorphes de ${\rm SL}_2(\mathbb{R})$ et aux représentations automorphes adéliques, la théorie des représentations complexes des groupes $p$-adiques, et des applications globales telles que la formule des traces et la correspondence de Jacquet--Langlands. La deuxième partie du cours se tournera vers les aspects relatifs, dont l'un des buts est de mettre en lien la non-annulation des périodes automorphes et les conjectures de fonctorialité de Langlands. L'accent ici sera mis sur les exemples.

Contenu

• Thèse de Tate et caractères de Hecke algébriques
• Formes automorphes sur ${\rm GL}_2$ et leur adélisation
• Théorie des représentations de ${\rm GL}_2$ sur un corps local et Langlands local
• Théorie spectrale, formule des traces, algèbres de quaternions et correspondence de Jacquet-Langlands
• Formule des traces relative et applications: Petersson--Kuznetsov, formule de Waldspurger, distinction et changement de base
• Perspectives actuelles: passage aux groupes plus généraux, conjectures de fonctorialité (relative) et relation avec périodes et distinction (si le temps le permet)

Prérequis

Bibliographie

• S. Lang. ${\rm SL}_2(\mathbf{R})$. Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 105
• A. Borel. Automorphic forms on ${\rm SL}_2(\mathbb{R})$. Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 130
• D. Bump, J. Cogdell, et al. . An introduction to the Langlands program. Birkh\"auser (2004)
• J.R. Getz, H. Hahn. An Introduction to Automorphic Representations with a view toward Trace Formulae. Springer Graduate Texts in Mathematics (2019)