Cours introductif (GA, TN)
Les outils de la géométrie algébrique
Antoine Ducros
Contact : antoine.ducros à imj-prg.fr
Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/Cours-schemas.pdf
Présentation
Le but de ce cours est d'introduire un certains nombres d'outils et notions, dans différents domaines (catégories, algèbre commutative, théorie des faisceaux), qui sont constamment utilisés en géométrie algébrique à la Grothendieck. Conçu pour préparer au cours d'introduction à la théorie des schémas, il peut présenter un intérêt pour tout étudiant intéressé par l'algèbre, la topologie et la géométrie au sens large.
La référence pour ce cours sera la première partie du polycopié dont l'URL est donnée ci-dessus ; il est possible que le manuscrit subisse quelques (légères) modifications d'ici la rentrée.
Contenu
- Le langage des catégories : catégories, foncteurs, équivalence de catégories, foncteurs représentables, produits fibrés, foncteurs adjoints.
- Algèbre commutative : idéaux premiers et maximaux, localisation, éléments entiers, going-up et going-down, normalisation de Noether, Nullstellensatz, dimension de Krull, produit tensoriel.
- Théorie des faisceaux : préfaisceaux, faisceaux, images directes et inverses de faisceaux, espaces annelés, espaces localement annelés, faisceaux de modules.
Prérequis
Il n'y a pas techniquement énormément de prérequis, sinon les définitions de base de l'algèbre commutative (anneaux, idéaux, modules...) ; mais une solide aisance en la matière est préférable. Je donne à titre indicatif quelques références en plus du polycopié.
Bibliographie