Cours spécialisé (Lie)
Catégorification(s) en théorie de Lie II
Olivier Dudas
Contact : olivier.dudas à imj-prg.fr
Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~olivier.dudas/
Présentation
Le but de ce cours est d'introduire à la théorie des représentations dite ``supérieure", où les espaces vectoriels sont remplacés par des catégories et les actions par des foncteurs. Cette approche permet de démontrer, entre autres : des propriétés de positivité et des identités combinatoires (en ``décatégorifiant"), des équivalences entre catégories abéliennes ou triangulées, l'existence de bases ``canoniques" pour certaines représentations.
La plupart des constructions seront algébriques mais certaines versions topologiques (faisceaux constructibles et faisceaux pervers) seront aussi évoquées.
La première partie du cours sera consacrée aux constructions de Chuang-Rouquier pour les représentations de l'algèbre de Lie \(sl_2\), auxquelles seront ajoutées les approches diagrammatiques dues à Khovanov-Lauda.
La deuxième partie du cours abordera les conséquences de ces actions catégoriques, notamment sur les représentations des groupes symétriques.
Contenu
- Rappels sur les catégories et foncteurs (partie 1)
- Représentations de \(sl_2\) et catégorifications faibles (partie 1)
- Catégorifications minimales (partie 1)
- Actions catégoriques fortes (partie 1)
- Équivalences dérivées
- Catégorifications et représentations du groupe symétrique
Prérequis
Il est conseillé d'avoir suivi le cours de L. Rigal sur les algèbres de Lie. Il est aussi conseillé d'avoir quelques connaissances en algèbre homologique (catégories et foncteurs, catégories abéliennes puis catégories dérivées pour la seconde partie du cours) même si la plupart des notions utilisées seront rappelées.
Bibliographie
- Chuang-Rouquier. Derived equivalences for symmetric groups and sl2-categorification. Annals of Math. 167 (2008)
- Etingof-Gelaki-Nikshych-Ostrik. Tensor categories. Mathematical Surveys and Monographs, 205. American Mathematical Society, Providence, RI, 2015
- Khovanov-Lauda. A diagrammatic approach to categorification of quantum groups. I. Represent. Theory 13 (2009), 309--347
- Khovanov-Lauda. A diagrammatic approach to categorification of quantum groups. II. Trans. Amer. Math. Soc. 363 (2011), no. 5, 2685--2700
- Rouquier. 2-Kac-Moody algebras. Preprint (2008)
- Rouquier. Quiver Hecke algebras and 2-Lie algebras. Algebra Colloquium 19 (2012), 359—41