Cours fondamental 1 (TN)

Introduction aux formes modulaires

Jan Nekovar

Contact : jan.nekovar à imj-prg.fr

Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~jan.nekovar/co/

Présentation

Ce cours est une introduction aux formes modulaires classiques.

Ce sont des fonctions holomorphes qui satisfont une propriété
d'invariance sous l'action par homographies d'un sous-groupe
d'indice fini de SL(2,Z).

Elles ont des propriétés analytiques, géométriques, algébriques et arithmétiques remarquables.

Contenu

• Exemples classiques, liens avec les fonctions elliptiques.
• Formes modulaires sur SL(2,Z).
• Formes modulaires sur (certains) sous-groupes discrets de SL(2,R). Courbes modulaires.
• Opérateurs de Hecke, liens avec les fonctions L.
• Séries d'Eisenstein, méthode de Rankin-Selberg.
• Si le temps le permet : fonctions thêta, périodes, multiplication complexe, exemples de formes modulaires plus générales, réformulation en termes de la théorie de groupes.

Prérequis

Bibliographie

• J.P. Serre. Cours d'arithmétique.
• D. Zagier. L'article dans The 1-2-3 of Modular Forms. Universitext. Springer.
• T. Miyake. Modular Forms. Springer.
• A. Ogg. L'article dans Modular Functions of One Varible. Lecture Notes in Mathematics 320. Springer.
• H. Cohen, F. Stromberg. Modular Forms. A Classical Approach. Graduate Studies in Mathematics 179. American Mathematical Society.
• F. Diamond, J. Shurman. A First Course in Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics 228. Springer.