Cours introductif (Lie)

Algèbres de Lie semi-simples complexes et leurs représentations, I

Laurent Rigal

Contact : rigal à math.univ-paris13.fr

Des notes de cours seront disponibles.

Présentation

Il s'agit d'un "cours introductif " à l'étude des algèbres de Lie semi-simples sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Son but est l'étude de la structure de ces algèbres de Lie avec pour objectif final leur classification. Dans cette première partie, l'aspect représentations ne sera abordé qu'en ce qu'il est utile à l'étude de la structure et à la classification mentionnées ci-dessus.

Il sera suivi d'un "cours fondamental " portant plus spécifiquement sur l'étude des représentations de dimension finie des algèbres de Lie en question. Le point d'articulation entre ces deux cours pourra être adapté en fonction des circonstances.

Pour l'essentiel, le cours suivra le livre classique de J.E. Humphreys.

Contenu

• Algèbres de Lie, morphismes, idéaux, représentations.
• Algèbres de Lie nilpotentes ; algèbres de Lie résolubles.
• Radical et forme de Killing d'une algèbre de Lie ; algèbres de Lie semi-simples, décomposition en idéaux simples.
• Complète réductibilité des représentations de dimension finie.
• Représentations de dimension finie de \(sl_2\); décomposition de Cartan-Chevalley d'une algèbre de Lie semi-simple.
• Systèmes de racines, groupe de Weyl, classification.

Prérequis

Bibliographie

• N. Bourbaki. Groupes et algèbres de Lie, Chap 4-6. Masson, 1981 URL
• J. Dixmier. Algèbres enveloppantes. Gauthier-Villars, 1974
• J.E. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. GTM 9, Springer, 1972
• J.-P. Serre. Algèbres de Lie semi-simples complexes. Benjamin, 1966