Cours fondamental 1 (Dyn, GC)
Systèmes dynamiques holomorphes
Matteo Ruggiero
Contact : matteo.ruggiero [à] imj-prg.fr
Notes de cours (manuscrites, en anglais) disponibles ici
Page Moodle du cours ici
Présentation
Les systèmes dynamiques étudient des espaces dont les points évoluent dans le temps. Dans notre cas, on considère l'action d'une application holomorphe f sur une surface de Riemann X, et on en étudie les itérés.
Dans ce cadre, l'espace X peut être divisé en deux parties, l'ensemble de Fatou et l'ensemble de Julia, où la dynamique est régulière/chaotique respectivement.
On étudiera les propriétés principales de ces ensembles, et la description de la dynamique des fonctions rationnelles sur la sphère de Riemann.
Si le temps le permettra, on présentera brièvement les techniques de géométrie quasi-conforme, et les conséquences qu'on peut en tirer en dynamique.
Contenu
- Fonctions holomorphes, surfaces de Riemann et métrique de Poincaré (rappels).
- Familles normales.
- Ensembles de Fatou et Julia, premières propriétés.
- Dynamique locale et applications.
- Propriétés des cycles répulsifs.
- Chirurgie quasi-conforme et applications (aperçu).
Prérequis
Une familiarité avec les contenus du cours (L3) de Fonctions holomorphes (en une variable) est demandée.
De même pour les contenus du cours (M1) de Topologie algébrique, spécialement pour ce qui regarde la théorie des revêtements.
La premiè partie du cours utilisera quelques notions de base vues dans le cours (M2) Surfaces de Riemann : ces notions seront brièvement rappelées dans le cours, mais une familiarité avec le concepte de surface de Riemann est souhaitable.
Bibliographie
- Milnor. Dynamics in one complex variable.
- Beardon. Iteration of rational functions.
- Carleson, Gamelin. Complex dynamics.
- Buff, Hubbard. Dynamics in one complex variable.