Cours fondamental 2 (Dyn)
Dynamiques symplectiques et hamiltoniennes
Marie-Claude Arnaud
Contact : Marie-Claude.arnaud à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Présentation
Le but de ce cours est d'introduire à la théorie des systèmes dynamiques symplectiques, qui modélisent de nombreux systèmes physiques comme le système solaire.
On commencera par introduire les outils de base de géométrie symplectique.
On étudiera ensuite les dynamiques symplectiques et hamiltoniennes et leurs relations.
On terminera par la théorie d'Aubry-Mather, un exemple d'étude d'une dynamique par des méthodes variationnelles
Contenu
- géométrie différentielle symplectique (variétés symplectiques et théorème de Darboux, sous-variétés lagrangiennes, exemples)
- Difféomorphismes symplectiques, leurs fonctions génératrices et leur application à la mise en évidence de certaines propriétés génériques, par exemple pour les orbites périodiques (multiplicateurs, formes normales)
- flots hamiltoniens, premières propriétés, leurs invariants intégraux, récurrences, leurs variétés lagrangiennes invariantes, exemples
- Boites de flot hamiltoniennes, sections de Poincaré et applications de premier retour, lien entre les flots hamiltoniens et les difféomorphismes symplectiques via ces sections ;
- Les application symplectiques de l'anneau qui dévient la verticale : la théorie d'Aubry-Mather et quelques résultats récents sur les mesures minimisantes
Prérequis
rudiments d'équations différentielles et géométrie différentielle (variétés, sous-variétés, formes différentielle), base des systèmes dynamiques : il est recommandé d'avoir suivi Systèmes Dynamiques 1, et systèmes dynamiques 2 sera un plus.
Bibliographie
- M.-C. Arnaud. Hyperbolicity for conservative twist maps of the 2-dimensional annulus. Publ. Mat. Urug. 16, 1-39 (2016)
https://hal-univ-avignon.archives-ouvertes.fr/hal-01174964/document
- V. Arnol'd. Les méthodes mathématiques de la mécanique classique (il y a une version en anglais). Editions MIR (1976)
- A. Cannas da Silva. Lectures on symplectic Topology. Lectures Notes in Mathematics 1764 (2008)
- D. McDuff & D. Salamon. Introduction to symplectic topology. Oxford Graduate Textes in Mathematics (2017)