Cours spécialisé (Dyn)
Théorie KAM faible
Marie-Claude Arnaud
Contact : Marie-Claude.arnaud à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Présentation
Dans les années 1990, Mané et Mather on étendu la théorie d'Aubry-Mather aux flots associés à des hamiltoniens de Tonelli (comme les systèmes mécaniques ainsi que les métriques riemanniennes) en toute dimension. Puis Fathi a inventé la théorie KAM faible, qui fait le lien entre la théorie de l'EDP de Hamilton-Jacobi et la dynamique de ces flots hamiltoniens. Le but de ce cours est d'expliquer cette théorie, en présentant simultanément une interprétation du point de vue de l'analyse et des systèmes dynamiques.
Contenu
- Formalisme lagrangien : flot d'Euler-Lagrange, propriété de distorsion de la verticale, les orbites correspondent aux extrémales de l'action lagrangienne, existence de minimiseurs locaux
- équation de Hamilton-Jacobi et variétés lagrangiennes, lien avec les minimiseurs et le semi-groupe de Lax-Oleinik, existence des minimiseurs (théorème de Tonelli), les minimiseurs sont des extrémales de l'action. Exemples : de Mané, des systèmes mécaniques
- Fonction semi-concave, leurs propriétés, application à l'action lagrangienne. Pseudographes, opérateurs d'évolution et semi-groupe de Lax-oleinik, Théorème KAM faible.
- Théorie de Mather sur les mesures minimisantes, lien avec les solutions KAM faible.
Prérequis
rudiments d'analyse fonctionnelle, base de dynamique hamiltoniennes (cours dynamiques symplectiques et hamiltoniennes), des notions de topologie algébrique de base seront un plus (elles seront rappelées dans le cours).
Bibliographie