Cours spécialisé (Log, TN, GC)
Contact : zoe.chatzidakis à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Les structures o-minimales ont montré leur importance dans de nombreux domaines mathématiques. En géométrie réelle ou analytique, en théorie des nombres (Pila-Wilkie et ses applications), et plus récemment en combinatoire.
La notion d'o-minimalité provient de la théorie des modèles, et a été introduite par Anand Pillay et Charles Steinhorn en 1986. Les structures o-minimales sont des structures (dans un certain langage) munies d'un ordre total, et telles que tout sous-ensemble définissable de la structure soit une union finie d'intervalles et de points. A partir de cette propriété simple on montre de nombreux résultats d'uniformité, de décomposition cellulaire, etc.
Les exemples les plus connus sont le corps ordonné des nombres réels \( ({\mathbb R},+,\times,0,1,<)\), et le corps ordonné des réels muni de l'exponentielle et des fonctions analytiques restreintes à des compacts. Ce dernier exemple est particulièrement important pour les applications à la théorie des nombres.
Le cours commencera par montrer les propriétés de base du corps des réels ; il y aura aussi une ou deux séances introduisant les notions de base de théorie des modèles (structures, définissable ...). Nous passerons ensuite aux structures o-minimales et à leurs propriétés, puis aux applications, suivant le temps restant.
Les notes de cours seront disponibles au fur et à mesure, sur ma page web.