Cours spécialisé (Log, TN, GC)

Corps réels clos et structures o-minimales

Zoé Chatzidakis

Contact : zoe.chatzidakis à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Les structures o-minimales ont montré leur importance dans de nombreux domaines mathématiques. En géométrie réelle ou analytique, en théorie des nombres (Pila-Wilkie et ses applications), et plus récemment en combinatoire.

La notion d'o-minimalité provient de la théorie des modèles, et a été introduite par Anand Pillay et Charles Steinhorn en 1986. Les structures o-minimales sont des structures (dans un certain langage) munies d'un ordre total, et telles que tout sous-ensemble définissable de la structure soit une union finie d'intervalles et de points. A partir de cette propriété simple on montre de nombreux résultats d'uniformité, de décomposition cellulaire, etc.

Les exemples les plus connus sont le corps ordonné des nombres réels \( ({\mathbb R},+,\times,0,1,<)\), et le corps ordonné des réels muni de l'exponentielle et des fonctions analytiques restreintes à des compacts. Ce dernier exemple est particulièrement important pour les applications à la théorie des nombres.

Le cours commencera par montrer les propriétés de base du corps des réels ; il y aura aussi une ou deux séances introduisant les notions de base de théorie des modèles (structures, définissable ...). Nous passerons ensuite aux structures o-minimales et à leurs propriétés, puis aux applications, suivant le temps restant.

Les notes de cours seront disponibles au fur et à mesure, sur ma page web.

Contenu

Prérequis

De l'algèbre (théorie des corps), ainsi que des notions d'analyse de base. Le cours utilisera aussi quelques notions de théorie des modèles, mais elles seront introduites au fur et à mesure. (Il y a des notes introductoires sur ma page web.)

Bibliographie