Cours introductif (GA)
Variétés algébriques
Jean-François Dat
Contact : jean-francois.dat à imj-prg.fr
Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/enseignement.php
Présentation
La géométrie algébrique est, à l'origine, l'étude des ensembles de points d'un espace affine ou projectif définis par un système d'équations polynômiales. Lorsque ces équations sont à coefficients dans un corps algébriquement clos, le langage approprié est celui des variétés algébriques. Nous introduirons ce langage, la notion pertinente de dimension dans ce contexte, celle de régularité d'un point, d'espace tangent, etc. En guise d'exemples concrets, on classifiera les courbes projectives lisses et on prouvera le théorème d'intersection de Bézout de courbes projectives planes, qui sera utile pour le cours fondamental "courbes elliptiques". Selon le temps, on expliquera comment adapter ce langage aux questions de rationnalité des solutions, lorsque le corps n'est plus algébriquement clos (mais supposé parfait).
Contenu
- ensembles algébriques, topologie de Zariski, composantes irréductibles, sous-variétés
- variétés (affines, projectives, abstraites), exemples (coniques, hypersurfaces, éclatements)
- dimension, régularité, espace tangent
- courbes projectives lisses et corps de degré de transcendence 1
- intersection de courbes projectives planes
- questions de rationalité, variétés sur un corps fini et leur endomorphisme de Frobenius
Prérequis
Ce cours utilisera quelques boîtes noires d'algèbre commutative
(localisation, anneaux réguliers, dimension) pour lesquelles il est
recommandé de suivre en parallèle le cours "les outils de la
géométrie algébrique" (mais des références seront
données). Le contenu sera grosso-modo celui du premier chapitre de Hartshorne.
Bibliographie
- Hartshorne. Algebraic Geometry. Graduate Texts in Math. 52 Springer
- Mumford. Algebraic geometry I. Grundlehren der Math W. Springer
- Mumford. The red book of varieties and schemes. Lecture Notes in Math. 1358 Springer