Cours fondamental 2 (GT, Lie)
Géométries de Cartan
Elisha Falbel
(Travaux dirigés par Raphael Alexandre)
Contact : elisha.falbel à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Présentation
Des structures géométriques apparaissent dans plusieurs contextes. Par exemple par un système différentiel, une métrique (pseudo)-riemannienne ou une distribution.
L'objectif de ce cours est d'introduire la méthode du repère mobile et les espaces géneralisés de Cartan, aujourd'hui nommés géométries de Cartan.
Ils permettent d'étudier les structures géométriques par l'emploi d'une connexion qui mime la forme de Maurer-Cartan des espaces homogênes.
Deux grands problèmes se posent. Le premier est de nature locale, c'est le problème d'équivalence : trouver des critères pour que deux structures géométriques
soient localement \'équivalentes. Une autre va dans le sens de la conjecture de D'Ambra-Gromov (1990) :
classifier globalement les structures géométriques qui ont un grand nombre d'automorphismes.
Il sera très profitable de suivre le cours de Frédéric Helein sur les
systèmes différentiels extérieurs en même temps. Il traitera le problème d’équivalence en profondeur.
Contenu
- Groupes de Lie et espaces homogênes.
- Fibrés principaux et connexions de Cartan.
- Le problème d'équivalence pour les géométries de Cartan. Exemples : géométrie riemannienne, espaces symétriques et tissus en dimension deux.
- Exemples : géométrie conforme et géométrie lagrangienne de contact.
- Problèmes globaux I : complétude.
- Problèmes globaux II : classification de flots d'Anosov avec distributions stable et instable lisses sur une structure lagrangienne de contact de dimension trois (th\' eorème de Ghys, 1987).
Prérequis
Des bases de géométrie différentielle et Riemannienne. Des bases sur les groupes de Lie sont conseillées.
Bibliographie
- Cap, A., Slovak, Jan. Parabolic geometries I. Mathematical Surveys and Monographs Volume 154. 2009
- Ivey, Thomas A.; Landsberg, J. M.. Cartan for beginners: differential geometry via moving frames and exterior differential systems.. Graduate Studies in Mathematics, 61. 2003
- Sharpe, R. W.. Differential geometry. Cartan's generalization of Klein's Erlangen program.. Graduate Texts in Mathematics, 166. 1997.