Cours fondamental 2 (GeoDiff)
Contact : helein à math.univ-paris-diderot.fr
Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~frederic.helein/cours.html
La théorie de Cartan-Kahler permet d'analyser essentiellement toutes les équations aux dérivées partielles dont les coefficients sont réels analytiques et, notamment, de décider si ces équations admettent des solutions locales (réelles analytiques). La formulation de cette théorie est géométrique et s'appuie sur le calcul différentiel extérieur, développé par Élie Cartan.
Les applications sont nombreuses, en particulier en géométrie et en physique mathématique. Une application importante est le problème d'équivalence qui sera traité en même temps dans le cours d'Elisha Falbel.
L'objectif de ce cours est de présenter cette théorie, notamment la notion de système involutif, qui y joue un rôle central. Le cours sera illustré par des exemples, d'abord dans le cas complètement intégrable (équations eikonale, de Hamilton-Jacobi, équation de transport), puis dans le cas général (plongements isométriques de variétés, problème d'équivalence et, si le temps le permet, des questions liées aux théories de jauge et à la théorie de la Relativité générale en physique mathématique).
Il sera très profitable de suivre le cours d'Elisha Falbel sur les Géométries de Cartan en même temps.