Cours fondamental 2 (GT, HFE, Phy)
Contact : tlefeuvre à imj-prg.fr
Notes de cours : https://thibaultlefeuvre.blog/mathematics-enseignement/
Les opérateurs différentiels sur les variétés jouent un rôle central dans de nombreuses branches des mathématiques : en géométrie, en dynamique, dans l’étude des équations aux dérivées partielles ... Le but de ce cours est de présenter les outils élémentaires de l’analyse microlocale sur les variétés fermées (c’est-à-dire compactes et sans bord), qui permet, entre autres, de décrire les propriétés des opérateurs différentiels et de l’algèbre naturelle qui les contient, à savoir les opérateurs pseudodifférentiels.
Après avoir présenté (ou rappelé) quelques résultats sur les distributions et leurs singularités microlocales, on étudiera le calcul pseudodifférentiel à proprement parler, et ses propriétés élémentaires. On insistera notamment sur l’étude des opérateurs dit elliptiques tels que le laplacien ou le laplacien de Hodge, et sur leur description spectrale. Enfin, nous donnerons deux applications de cette théorie en cohomologie de De Rham : le théorème de Hodge et le théorème de Lefschetz.
Perspectives : Ce cours peut être un tremplin vers les thèmes suivants : théorème de l’indice de Atiyah-Singer, analyse microlocale et semi-classique (e.g. : théorie de la diffusion — scattering en anglais —, ergodicité quantique, …), dynamique uniformément hyperbolique et résonances de Pollicott-Ruelle, géométrie complexe et kählerienne.
(*) Dans le contenu : si le temps le permet.