Cours fondamental 2 (TN)
Théorie du corps de classes local
Cédric Pépin
Contact : cpepin à math.univ-paris13.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
Un corps local est un corps de valuation discrète complet à corps résiduel fini. Par exemple, le corps \(\mathbb{Q}_p\) des nombres p-adiques obtenu en complétant le corps \(\mathbb{Q}\) des nombres rationnels en un nombre premier p, ou le corps \(\mathbb{F}_p(X)_x\) obtenu en complétant le corps des fonctions rationnelles \(\mathbb{F}_p(X)\) d'une courbe lisse X sur le corps fini \(\mathbb{F}_p\) en un point fermé x. La théorie du corps de classes local relie le groupe de Galois des extensions abéliennes d'un corps local K, au groupe multiplicatif des éléments inversibles du corps K lui-même. Parmi les différentes approches de cette théorie, on présentera essentiellement celle de Lubin-Tate.
Contenu
- Groupes de Lubin-Tate relatifs, application d'Artin
- Norme, changement de base
- Ramification, théorème de Kronecker-Weber local
- Dans le cas d'égale caractéristique : interprétation géométrique et compatibilité à la théorie globale
Prérequis
Les cours prérequis sont les cours introductifs Théorie algébrique des nombres et Les outils de la géométrie algébrique, et le cours fondamental I Introduction à la théorie des schémas I. Le cours fondamental I Introduction à l'arithmétique des courbes elliptiques est conseillé.
Bibliographie
- J. Lubin, J. Tate. Formal complex multiplication in local fields. Ann. of Math. 81 (2) (1965), 380-387
- J.-P. Serre. Groupes algébriques et corps de classes. Hermann (Paris), 1959
- J.-P. Serre . Corps locaux. Hermann (Paris), 1968
- T. Suzuki. Some remarks on the local class field theory of Serre and Hazewinkel. Bulletin de la SMF 141 (2013), 1-24
- T. Yoshida. Local class field theory via Lubin-Tate theory. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse XVII (2) (2008), 411-438