Cours spécialisé (GT,GC,HFE)

Fibrés de Higgs et représentations de groupes de surfaces

Nicolas Tholozan

Contact : nicolas.tholozan à ens.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Soit \(\Sigma\) une surface de Riemann compacte. La correspondance de Hodge non-abélienne établit une équivalence de catégories entre des objets de nature holomorphe : les fibrés de Higgs sur \(\Sigma\), et des objets purement topologiques : les représentations linéaires de son groupe fondamental.

Après avoir présenté la correspondance et les deux théorèmes d'analyse géométrique sur lesquels elle repose, nous verrons ses applications à la description des variétés de caractères du groupe fondamental de \(\Sigma\). Un objectif sera de décrire la topologie de l'espace des classes de conjugaisons de représentations à valeurs dans \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})\).

Si le temps le permet, nous mentionnerons quelques généralisations de la correspondance (aux variétés kahlériennes compactes, aux surfaces épointées...).

Contenu

Fibrés vectoriels holomorphes, connexions, courbures
Fibrés harmoniques, fibrés de Higgs
Espaces de modules

Prérequis

Il est conseillé d'avoir suivi un cours de Géométrie complexe ou de Surfaces de Riemann et d'avoir une bonne connaissance des outils de la géométrie différentielle (fibrés vectoriels, connexions). Le livre de Soshichi Koabayshi: Differential geometry of complex vector bundles fournit une introduction à ces notions particulièrement adaptée au cours.

Bibliographie

Carlos Simpson. Higgs bundles and local systems. Publications Ma- thématiques de l’IHÉS 75, 1992, p. 5–95. URL
Kevin Corlette. Flat G-bundles with canonical metrics. Journal of Differential Geometry 28(3), 1988, p. 361–382.
Nigel Hitchin. The Self-duality equations on a Riemann surface. Proceedings of the London Mathematical Society 3(1), p. 59–126
Nigel Hitchin. Lie groups and Teichmuller space. Topology 31(3), 1992, p. 449–473.