Cours spécialisé (GD, Lie, GA, GC, GT, Dyn, Phy)
Connexions méromorphes en théorie de jauge de dimension 2
Philip Boalch
Contact : boalch à imj-prg.fr
Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~philip.boalch/cours23
Présentation
La but du cours est d'expliquer la lien entre les équations différentielles
algébriques linéaires (les connexions méromorphes sur les fibrés vectoriels
sur les courbes complexes lisses) et quelques exemples des équations différentielles non-linéaires.
L’idée de base, centrale dans la théorie de jauge, est que l'inconnu dans l'équation
différentielle nonlineaire est mieux compris comme un connexion linéaire. Ici on
utilise la même principe mais pour les connexions algébriques méromorphes.
Ceci donne l’opportunité d’étudier quelques exemples des jolies variétés algébriques (hyperkahlerienne) qui apparaissent comme espaces de modules dans cette histoire.
Contenu
- Espaces de modules de connexions additifs et multiplicatifs (géométrie symplectique holomorphe)
- Systèmes locaux de Stokes, variétés de caractères sauvages
- Application de Riemann-Hilbert-Birkhoff, théorie de Lie globale
- Équations de Yang-Mills autodual, équations de Hitchin, fibrés harmoniques sur les surfaces de Riemann non-compact (rotation hyperkahlerienne, correspondance de Hodge nonabelienne sauvage)
- Systèmes d'isomondromie (Painlevé, Schlesinger, Jimbo-Miwa-Mori-Sato, simplement lacé,...), connexions d'Ehresmann nonlineaires et lien avec les groupes de tresse
- Fibres de Higgs méromorphes et systèmes intégrables algèbro-géométriques (Garnier, Mumford, Hitchin, Bottacin-Markman, ...)
Prérequis
Lectures conseillées:
Surfaces de Riemann
Géométrie différentielle et riemannienne
Géométrie complexe et théorie de Hodge
Dynamiques hamiltoniennes et symplectiques
Variétés de caractères des surfaces
Bibliographie
- A. Alekseev, A. Malkin and E. Meinrenken. Lie group valued moment maps. Journal of differential geometry 48, (3) 1998, pp.445-495
https://arxiv.org/abs/dg-ga/9707021
- O.Babelon, D. Bernard, M. Talon. Introduction to classical integrable systems. CUP 2003
- P. Boalch. Topology of the Stokes phenomenon . Proc. Symp. Pure Math. 103 (2021) 55–100
https://arxiv.org/abs/1903.12612
- P. Deligne, B. Malgrange, J.P. Ramis. Singularités irrégulières. SMF 2007
- N. Hitchin. Gauge theory on Riemann surfaces. in: Lectures on Riemann surfaces (Trieste, 1987), 99-118, World Sci. Publishing, Teaneck, NJ, 1989
- E. Markman. Spectral curves and integrable systems. Compositio Math. 1994