Cours fondamental 2 (GA, Lie, GT, TA)
Contact : adrien.brochier à imj-prg.fr
Notes de cours : http://abrochier.org/m2/
La variété des caractères associée à une variété topologique \(X\) est un objet géométrique qui classifie les représentations linéaires du groupe fondamental de \(X\). Ce sont des objets fascinants qui vivent à l'intersection de la topologie, de la théorie des représentations et de la géométrie algébrique. Elles sont particulièrement étudiées dans le cas où \(X\) est une surface: dans ce cas, elles possèdent canoniquement ce qu'on appelle une structure de Poisson, découverte par Atiyah--Bott et Goldman et inspirée par les théories des champs en physique.
Dans ce cours, on commencera par définir et décrire les variétés de caractères des surfaces comme objets géométriques, ce qui nécessite quelques précautions. On définira ensuite la notion de structure de Poisson. L'essentiel du cours consistera enfin à donner une construction "graphique" de ces variétés et de la structure de Poisson d'Atiyah--Bott-Goldman à partir de boucles dessinées sur la surface. On fera, au passage, un détour par quelques rèsultats de la théorie classique des invariants.
Suivant le temps disponible, on abordera éventuellement la notion de quantification de ces structures de Poisson, et leur lien avec la théorie des représentations et la théorie des noeuds.
Note : ce cours est complémentaire au, mais indépendant du, cours d'E. Letellier "Variété des caractères des surfaces II".