Cours fondamental 2 (GA)

Cohomologie des faisceaux cohérents et applications

Antoine Chambert-Loir

Contact : antoine.chambert-loir à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Il s'agit d'un second cours de théorie des schémas qui fait suite à celui du cours de François Loeser en période 2.

Les faisceaux quasi-cohérents sont aux schémas ce que les modules sont aux anneaux, et cette analogie est exacte dans le cas des schémas affines, le foncteur section globales fournit une équivalence de catégories abéliennes.

La situation est plus subtile dans le cas général et ce foncteur (ou leur généralisation donnée par l'image directe suivant un morphisme) n'est plus forcément exact, donnant lieu à une théorie cohomologique non triviale.

Une première partie du cours sera consacrée à construire cette théorie et à en établir les propriétés fondamentales et les premières applications (caractérisation des schémas affines et de l'amplitude).

Dans une seconde partie, si le temps le permet, nous voudrions présenter trois théorèmes fondamentaux où cette cohomologie joue un rôle majeur :

- le théorème de comparaison de Serre entre géométrie algébrique et géométrie analytique,

- la théorie de régularité de Castelnuovo-Mumford et la construction des schémas de Hilbert,

- le théorème de dualité de Serre.

Contenu

Prérequis

- Cours Schémas 1 (François Loeser) - Bases d'algèbre homologique

Bibliographie