Cours introductif (GA)

Variétés algébriques

Jean-François Dat

Contact : jean-francois.dat à imj-prg.fr

Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/enseignement.php

Présentation

La géométrie algébrique est, à l'origine, l'étude des ensembles de points d'un espace affine ou projectif définis par un système d'équations polynômiales. Lorsque ces équations sont à coefficients dans un corps algébriquement clos, le langage approprié est celui des variétés algébriques. Nous introduirons ce langage, la notion pertinente de dimension dans ce contexte, celle de régularité d'un point, d'espace tangent, etc. En guise d'exemples concrets, on classifiera les courbes projectives lisses et on prouvera le théorème d'intersection de Bézout de courbes projectives planes, qui sera utile pour le cours fondamental "courbes elliptiques". Selon le temps, on expliquera comment adapter ce langage aux questions de rationnalité des solutions, lorsque le corps n'est plus algébriquement clos (mais supposé parfait).

Contenu

Prérequis

Ce cours utilisera quelques boîtes noires d'algèbre commutative (localisation, anneaux réguliers, dimension). Le contenu sera grosso-modo celui du premier chapitre de Hartshorne.

Bibliographie