Cours spécialisé (GD, GT, HFE)
Contact : alix.deruelle à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Ce cours est une introduction au flot de Ricci introduit par Hamilton au début des années 80. Le flot de Ricci peut être interprété comme une équation de la chaleur intrinsèque sur l'espace des métriques modulo l'action des difféomorphismes et des homothéties sur l'espace des métriques sur une variété lisse donnée. Heuristiquement, on s'attend sous certaines conditions de courbure sur la métrique initiale à ce que le flot de Ricci converge vers une géométrie canonique. On parle alors de résultat d'uniformisation.
Le but de ce cours est de comprendre l'uniformisation des surfaces via le flot de Ricci. Dans un premier temps, nous dériverons les premières équations d'évolution satisfaites en toutes dimensions par la courbure de Ricci et la courbure scalaire. Nous donnerons ensuite quelques solutions explicites ainsi que la définition des points fixes d'un tel flot appelés solitons de Ricci. Les estimées de type Bernstein-Shi sur les dérivées de la courbure ainsi que la préservation de la positivité de la courbure (de Ricci, scalaire, etc ) seront établies comme première illustration du principe du maximum. Nous serons brefs sur l'existence (et l'unicité) d'un tel flot en temps court à partir d'une métrique lisse sur une variété fermée. Nous nous concentrons alors sur la dimension 2 réelle pour démontrer l'uniformisation des surfaces de genre plus grand que 2. Le cas de la sphère, plus délicat, sera l'occasion d'introduire une notion d'entropie due à Hamilton et cruciale pour démontrer la convergence du flot vers une métrique à courbure constante strictement positive. La classification des solitons en dimension 2 réelle sera également au coeur de cette preuve.