Cours fondamental 2 (Pro)
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Les processus de branchement en temps et espace continus (on utilisera leurs acronymes anglais CSBPs ou CBs pour continuous-state branching processes) sont des processus de Markov à valeurs dans \( [0,\infty]\) qui ont été définis dans les années soixantes. Ils généralisent la diffusion branchante de Feller et jouent depuis lors un rôle important dans de nombreux modèles aléatoires (modèles de population, modèles d'énergie, superprocessus, arbres aléatoires, cartes aléatoires,...). L'objectif du cours est d'introduire en toute généralité ces processus en partant de la propriété de branchement et de la propriété de Markov (on suivra les arguments de Silverstein dans son article fondateur de 1968). Nous verrons que les semi-groupes vérifiant la propriété de branchement sont entièrement caractérisés par une fonction \(\Psi\) (appelée mécanisme de branchement), elle-même déterminée par un quadruplet \( (\kappa, \beta, \sigma, \pi)\) où \(\kappa \geq 0, \beta\in \mathbb{R}\), \(\sigma\geq 0\), et \(\pi\) est une mesure de Lévy sur \(\mathbb{R}^{\star}_+\), à savoir \(\int_0^\infty (1\wedge x^2 ) \pi(dx)<\infty\). Nous vérifierons que les processus associés aux semi-groupes en question apparaissent comme limites d'échelle des processus de branchement discrets, ce qui permettra d'interpréter intuitivement les quatre paramètres. En particulier la mesure \(\pi\) contrôlera les sauts (qui ne peuvent être que positifs) du processus. Nous étudierons les propriétés trajectorielles des CSBPs (explosion, extinction, renormalisation presque-sûre: croissance exponentielle, sur-exponentielle) via des martingales fondamentales (appelées martingale de Grey). Enfin nous construirons un modèle continu de population complet à partir d'un processus de Poisson ponctuel sur l'espace des trajectoires càdlàg. Si le temps le permet nous utiliserons cette construction pour étudier la notion d'individus prolifiques et d'individus "super-prolifiques". Nous commencerons par un retour sur les transformées de Laplace, les lois infiniment divisibles sur \(\mathbb{R}_+\), et les subordinateurs (processus de Lévy croissants). Les liens entre CSBPs et processus de Lévy spectralement positifs (c'est-à-dire sans saut négatifs) par changement de temps seront mentionnés (démontrés si on a le temps). A la fin du cours, nous parlerons des généralisations possibles prenant en compte des phénomènes tels que l'immigration, la compétition, les catastrophes, etc.