Cours introductif (Lie)
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Pas de notes de cours prévues.
La théorie des représentations, notamment des algèbres de Lie, est un sujet central en mathématiques qui a de nombreuses applications à d'autres branches des mathématiques (géométrie, théorie des nombres, combinatoire, topologie...) mais aussi en physique théorique (systèmes intégrables quantiques, théorie conforme des champs...). Le but de ce cours est double : d'une part donner une introduction aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie, notamment en théorie des représentations, et d'autre part étudier des généralisations (de dimension infinie et quantiques) ainsi que certaines de leurs applications importantes.
Plan détaillé du cours :
1. Groupes et algèbres de Lie de dimension finie
- Généralités sur les représentations des groupes et des algèbres.
- Algébres de Lie : définition, notion de représentation, exemples classiques, motivations.
- Algèbres de Lie nilpotentes, résolubles, semi-simples.
- Catégories de représentations d'une algèbre de Lie, représentations irréductibles, représentations semi-simples. Représentation adjointe.
- Complète réductibilité pour les algèbres de Lie semi-simples (théorème de Weyl).
- Structure des algèbres de Lie semi-simples. Systèmes de racines, groupe de Weyl.
- Groupes de Lie et leurs algèbres de Lie.
2. Représentations des algèbres de Lie de dimension finie
- Modules de plus haut poids, modules de Verma, modules simples.
- Catégorie O. Paramétrisation des représentations simples. Séries de Jordan-Holder.
- Représentations de dimension finie, paramétrisations par les poids dominants.
- Structure tensorielle, morphisme de caractère, anneau de Grothendieck.
3. Algèbres de Lie de dimension infinie
- Algèbres de Kac-Moody, présentation de Serre, sous-algèbres de Borel.
- Catégorie des représentations intégrables.
- Algèbres de lacets et extensions.
- Algèbres de Virasoro et de Heisenberg : lien avec les algèbres affines.
- Racines réelles, racines imaginaires.
4. Quantification et géométrie
Groupes quantiques et bases canoniques.
Approches géométriques à la théorie des représentations : exemple des représentations de Springer.