Cours spécialisé (HFE,GT)
Contact : paul.laurain à imj-prg.fr
Le but de ce cours est de donner une introduction à deux problématiques de l'analyse géométrique moderne. Plus précisément on s’intéressera aux applications harmoniques de surfaces à valeurs dans une variété compacte et aux connections Yang-Mills sur les fibrés des $4$-variétés. Ces deux problèmes possèdent une invariance conforme qui rend l'étude analytique des solutions assez délicates mais qui, en contrepartie, fournie des espaces de modules contenant beaucoup d'informations géométrique. On commencera par étudier les problèmes invariants conformes en dimension 2 via l'approche générale de Rivière [2]. Ensuite nous verrons notamment comment les applications harmoniques permettent d'étudier l'espace de Teichmüller [3]. Enfin, nous étudierons les travaux d'Uhlenbeck sur l'équation de Yang-Mills et j'expliquerai comment ces résultats analytiques sont au cœur de la preuve du théorème de Donaldson sur la topologie de $4$-variétés lisses [1].