Cours spécialisé (Dyn, GT, Pro)

Fonctions harmoniques et bords de marches aléatoires.

Anna Erschler

Contact : erschler à ens.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Diverses familles de fonctions harmoniques reflètent la géométrie asymptotique des graphes. Il existe différents concepts du bord d'espaces métriques infinis et des graphes, en particulier pour des graphes de Cayley de groupes. Le bord de Martin est un espace topologique qui fournit la description de fonctions harmoniques positives. Par le théorème de convergence des martingales, telles fonctions convergent le long de trajectoires infinies unilatérales de la marche aléatoire sur un graphe. Si nous supposons que les fonctions sont bornées, elles peuvent être récupéré à partir de ces valeurs limites, ce qui conduit à l'une des définitions du bord de Poisson. Il s'agit d'un espace de probabilité, qui est essentiel pour comprendre le comportement asymptotique des marches aléatoires sur les graphes et les groupes. D'autres classes des fonctions étudies récemment incluent les fonctions harmoniques Lipshitziennes, qui apparaît dans la preuve de Colding-Minicozzi-Kleiner du théorème de croissance polynomiale.

Contenu

• Dans ce cours, nous étudions les fonctions harmoniques et différentes notions des bords pour les marches aléatoires sur les graphes, en nous concentrant sur le cas où les graphes sont transitifs et les opérateurs sont homogènes. Cette dernière classe comprend les marches aléatoires sur des groupes.
• Nous étudierons des résultats fondamentaux du à Doob, Furstenberg, Azencott, Cartier, Margulis, Guivarch, Kaimanovich, Vershik et Derriennic, et à la fin du cours nous prévoyons de discuter quelques résultats très récents dans ce domaine.

Prérequis

Bibliographie

• W. Woess. Random Walks on Infinite Graphs and Groups. Cambridge University Press, 2000
• F. Spitzer. Principles of random walks. The University Series in Higher Mathematics, D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, N.J.-Toronto-London, 1964
• R. Lyons, Yu. Peres.. Probability on trees and networks. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, 42. Cambridge University Press, New York, 2016 https://rdlyons.pages.iu.edu/prbtree/