Cours spécialisé (Pro)
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Pas de notes de cours prévues.
La marche aléatoire avec branchement est un modèle étudié dans plusieurs domaines tels que la théorie de probabilités, la physique statistique, l'algorithme aléatoire ou encore la génétique des populations. Ce modèle peut être considéré comme un processus de Galton-Watson combiné avec des déplacements spatiaux. À la génération 0, un seul individu se trouve à l'origine. Cet individu donne naissance à des enfants qui se déplacent dans l'espace en suivant un processus ponctuel (composé du nombre d'enfants et de leurs positions spatiales), ce qui constitue la première génération du processus. Ensuite, on répète cette procédure en prenant chaque enfant comme ancêtre, indépendamment les uns des autres, avec la même loi de reproduction et de déplacement. Le modèle continu, appelé mouvement brownien branchant, est étroitement lié à l'étude des équations Fisher-KPP. Ces deux modèles ont fait l'objet de recherches soutenues ces dernières décennies.
Dans ce cours, l'accent sera mis sur le cas unidimensionnel de ce modèle. Nous présenterons en particulier les études de ses martingales et de ses valeurs extrêmes, et si le temps le permet, nous aborderons également des modèles connexes tels que les marches aléatoires dans un arbre aléatoire et le champ gaussien libre.