Cours fondamental 2 (Com, Lie)
Algèbres amassées et représentations de carquois
Bernhard Keller
Contact : bernhard.keller à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
Les algèbres amassées ont été inventées par Sergei Fomin et Andrei Zelevinsky autour de l'an 2000. Ce sont des algèbres commutatives munies d'une famille de générateurs distingués, les variables d'amas, qui sont construits de façon récursive par une procédure appelée mutation. Les motivations de Fomin-Zelevinsky venaient de la théorie de Lie et en particulier de la théorie des bases canoniques de Lusztig/Kashiwara et de l'étude par Lusztig de la positivité totale (étroitement reliée aux bases canoniques). Il s'est avéré rapidement que la combinatoire des algèbres amassées apparaissait également dans un grand nombre d'autres sujets mathématiques, par exemple en géométrie de Poisson, dans la théorie de Teichm\"ller supérieure de Fock-Goncharov, l'étude des invariants de Donaldson-Thomas en géométrie algébrique, la théorie des représentations des algèbres affines quantiques, la topologie symplectique ... et la théorie des représentations des carquois et des algèbres de dimension finie. Le but du cours est d'expliquer la théorie de base (essentiellement combinatoire) des algèbres amassées, de donner une introduction à la théorie (homologique) des représentations des carquois et des algèbres de dimension finie et de montrer comment ces deux sujets s'enrichissent mutuellement grâce à la (dé)catégorification (additive).
Contenu
- Algèbres amassées : définition et premiers exemples, rappels sur les systèmes de racines, classification des algèbres amassées amas-finis, structures amassées sur des algèbres de coordonnées, exemple de la Grassmannienne, objets combinatoires : g-vecteurs, c-vecteurs, suites vertes maximales; algèbres amassées associées aux surfaces marquées, algèbres amassées quantiques, variétés amassées et conjectures de dualité de Fock-Goncharov.
- Catégorification additive : représentations de carquois, catégories dérivées et catégories amassées, catégorification des algèbres amassées acycliques, algèbres préprojectives, construction de structures amassées suivant Geiss-Leclerc-Schröer, carquois à potentiel, algèbres de Ginzburg et catégorification dans le cas général, application à la conjecture de périodicité de Zamolodchikov.
Prérequis
L'introduction aux les algèbres amassées ne suppose pas de prérequis.
Pour la catégorification, des connaissances en algèbre homologique et
sur la structure et la théorie des représentations des algèbres de Lie
semi-simples complexes seront très utiles.
Bibliographie
- Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. Cluster algebras. I. Foundations. J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no. 2, 497--529
http://arxiv.org/abs/math/0104151
- Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. Cluster algebras. II. Finite type classification. Invent. Math. 154 (2003), no. 1, 63-- 121
http://arxiv.org/abs/math/0208229
- Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. Cluster algebras. IV. Coefficients. Compos. Math. 143 (2007), no. 1, 112--164
http://arxiv.org/abs/math/0602259
- Christof Geiss, Bernard Leclerc, and Jan Schröer. Preprojective algebras and cluster algebras. Trends in representation theory of algebras and related topics, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 253--283
https://arxiv.org/abs/0804.3168
- Bernhard Keller. Cluster algebras, quiver representations and triangulated categories. Triangulated categories, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 375, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010, pp. 76--160
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- Bernhard Keller. Cluster algebras and derived categories. Derived categories in algebraic geometry, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc., Zürich, 2012, pp. 123--183
http://arxiv.org/abs/1202.4161