Cours fondamental 2 (Com, Lie)

Algèbres amassées et représentations de carquois

Bernhard Keller

Contact : bernhard.keller à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Les algèbres amassées ont été inventées par Sergei Fomin et Andrei Zelevinsky autour de l'an 2000. Ce sont des algèbres commutatives munies d'une famille de générateurs distingués, les variables d'amas, qui sont construits de façon récursive par une procédure appelée mutation. Les motivations de Fomin-Zelevinsky venaient de la théorie de Lie et en particulier de la théorie des bases canoniques de Lusztig/Kashiwara et de l'étude par Lusztig de la positivité totale (étroitement reliée aux bases canoniques). Il s'est avéré rapidement que la combinatoire des algèbres amassées apparaissait également dans un grand nombre d'autres sujets mathématiques, par exemple en géométrie de Poisson, dans la théorie de Teichm\"ller supérieure de Fock-Goncharov, l'étude des invariants de Donaldson-Thomas en géométrie algébrique, la théorie des représentations des algèbres affines quantiques, la topologie symplectique ... et la théorie des représentations des carquois et des algèbres de dimension finie. Le but du cours est d'expliquer la théorie de base (essentiellement combinatoire) des algèbres amassées, de donner une introduction à la théorie (homologique) des représentations des carquois et des algèbres de dimension finie et de montrer comment ces deux sujets s'enrichissent mutuellement grâce à la (dé)catégorification (additive).

Contenu

Prérequis

L'introduction aux les algèbres amassées ne suppose pas de prérequis. Pour la catégorification, des connaissances en algèbre homologique et sur la structure et la théorie des représentations des algèbres de Lie semi-simples complexes seront très utiles.

Bibliographie