Cours introductif (GD, GC, Lie, Phy, Dyn)

Géométrie différentielle et Riemannienne

Frederic Naud (Travaux dirigés par Elisha Falbel/Laurent Charles)

Contact : frederic.naud à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Ce cours introductif traite des notions de base en géométrie différentielle. Après des rappels sur les champs de vecteurs, les formes différentielles et le théorème de Stokes, on abordera la théorie des fibrés vectoriels et des connections que l'on spécialisera ensuite au cas Riemannien pour y parler de géodésiques, de courbure etc...

Contenu

• Variétés différentielles: variétés, sous-variétés, espace tangent, champs de vecteurs, flots, théorème de Frobenius.
• Formes différentielles, orientation, Stokes.
• Fibrés vectoriels, connections, courbure. Exemples
• Métriques Riemanniennes, connection de Levi-Civita. Géodésiques, application exponentielle, Hopf-Rinow.
• Courbures: sectionnelle, Ricci. Espaces à Courbure constante. Classes de Chern, forme d'Euler et généralisations de Gauss-Bonnet.

Prérequis

Bibliographie

• John M. Lee. Introduction to smooth manifolds. Vol 18 of GTM Springer
• Gallot, Hulin et Lafontaine. Riemannian geometry. Universitext, Springer
• Do Carmo. Riemannian geometry. Birkhauser