Cours spécialisé (Lie)
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Les algèbres de Hopf interviennent et jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines des mathématiques: théorie des représentations (groupes algégriques, algèbres enveloppantes, groupes quantiques, ...), combinatoire (fonctions symétriques et leurs généralisations, graphes, ...), physique mathématique, théorie des nombres (valeurs des fonctions zêta multiples), souvent via des structures issues de propriétés universelles. Ainsi la propriété universelle des cogèbres colibres (éventuellement dans un cadre "quantique") conduit aux algèbres de Hopf shuffle, quasi-shuffle et leurs versions quantiques: ces dernières permettent une approche combinatoire des groupes quantiques et leurs représentations, et les premières sont au coeur de conjectures sur l'algèbre des multizêtas. Ces constructions sont aussi centrales dans l'étude d'algèbres de Hopf combinatoires (fonctions symétriques et quasisymétriques, dont certaines donnent un premier exemple de catégorification).