Cours spécialisé ("GT,Lie,Dyn")

Sous-groupes discrets des groupes de Lie

Andrés Sambarino

Contact : andres.sambarino à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Ayant étudié les espaces globalement symériques (voir cours Fondamental 2) on s'occupe maintenant des quotients de ceux-ci lorsque la courbure sectionnelle est non-positive. Autrement dit, on étudie des sous-groupes discrets d'un groupe de Lie semi-simple (ou réductif) G.

On commencera par étudier les réseaux de G, c'est-à-dire les sous-groupes discrets de co-volume fini. Un premier jalon est le Théorème de Borel-Harish-Chandra montrant l'existence des réseaux pour tout G. Ce résultat mélangeant Géométrie et Théorie des Nombres sera complété par le Théorème d'Arithmeticité de Margulis: lorsque le rang de G est minoré par 2 tout réseaux est obtenu par une construction arithmétique. Les Systèmes Dynamiques apparaissent d'une façon centrale dans la preuve de ce résultat de Margulis qui nous occupera une bonne partie du cours.

Si le temps le permet on passera ensuite à l'étude des sous-groupes de co-volume infini, notamment ceux dites 'convexe-co-compactes' lorsque le rang de G vaut 1 et leur généralisation par Labourie en 2006 en rang supérieur, appelés les sous-groups anosoviens.

Contenu

Prérequis

Le cours 'Géométrie de espaces globalement symétriques' ainsi que des notions de basse des Systèmes Dynamiques seront utiles.

Bibliographie